Adição e subtração de arcos - Resolução de equações e inequações

Adição e subtração de arcos

Resolução de equações e inequações

Carlos Alberto Campagner*

Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Adição e subtração de arcos, arco duplo, transformação em produto

Identificando os Quadrantes do Ciclo Trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, com raio unitário, associada a um sistema de coordenadas cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano. Dessa forma, o círculo fica dividido em quatro quadrantes, identificados de acordo com o sentido anti-horário a partir do ponto A.

Funções Trigonométricas

No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:

Lei do cosseno

Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:

Lei dos senos

Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe:

Trigonometria em um Triângulo qualquer

As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos.

Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente.

Trigonometria no triângulo Retângulo

O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:

ENEM - Função Logarítmica e Equações logarítmicas

Toda função definida pela lei de formação f(x) = log_ax, com a ≠ 1 e a > 0

ENEM - Logaritmo

Logaritmo é um estudo da matemática que depende maciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, pois para encontrar o valor numérico de um logaritmo, é preciso desenvolver uma potência transformá-la em um logaritmo.

ENEM - Função Afim

Por Thyago Ribeiro

Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:

O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.

ENEM - Relações e Funções e exercícios (hiperlink)

Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de pro

ENEM - Equação Exponencial

Toda equação que contém a incógnita no expoente é denominada equação exponencial.

Vejamos alguns exemplos de equações exponenciais:

Matemática - Aula 12 - Equação Exponencial - Parte 1

ENEM - Matemática - Aula 30 - Análise Combinatória - Parte 5

ENEM - Função Exponencial

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

ENEM - Função afim

Função Afim

Por Thyago Ribeiro

Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:

O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.

ENEM - Ensino Médio: Relações e Funções (Sercomtel

Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos.

ENEM - Arranjos e Combinações Simples

Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.

Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou

Questão 8 - (ANA - 2009 / ESAF)

Questão 8 - (ANA - 2009 / ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?

a) 0,98% 

b) 1% 

c) 2,94% 

d) 1,30% 

e) 3,96% 

Questão 2 - (ANA - 2009 / ESAF)

Questão 2 - (ANA - 2009 / ESAF) Em um ponto de um canal, passam em média 25 barcos por hora quando está chovendo e 35 barcos por hora quando não está chovendo, exceto nos domingos, quando a frequência dos barcos cai em 20%. Qual o valor mais próximo do número médio de barcos que passaram por hora neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do sábado e durante 1/3 das horas do domingo?

(ANA - 2009 / ESAF) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d’água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem.

(ANA - 2009 / ESAF) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. L

Há 64 litros de suco concentrado num vasilhame. Substitua 16 litros desse suco por 16 litros de água e misture bem. Substitua agora 16 litros dessa mistura por 16 litros de água e novamente misture bem. Dos 64 litros iniciais de suco concentrado, permaneceu no vasilhame na última mistura, evidentemente misturada com água, uma quantidade de suco concentrado, em litros, na ordem de

Há 64 litros de suco concentrado num vasilhame. Substitua 16 litros desse suco por 16 litros de água e misture bem. Substitua agora 16 litros dessa mistura por 16 litros de água e novamente misture bem. Dos 64 litros iniciais de suco concentrado, permaneceu no vasilhame na última mistura, evidentemente misturada com água, uma quantidade de suco concentrado, em litros, na ordem de:

Uma organização internacional tem 32 membros. Se o número de membros aumentar em cada ano 50% dos membros do ano anterior, então, daqui a três anos, o total de membros dessa organização será

Uma organização internacional tem 32 membros. Se o número de membros aumentar em cada ano 50% dos membros do ano anterior, então, daqui a três anos, o total de membros dessa organização será:
a)122

Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10 000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta). Cada uma tem 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão é de 140 caixas e custa 3 300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.

Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10 000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta). Cada uma tem 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão é de 140 caixas e custa 3 300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.


Caixa de maçã = x
Caixa de pera = y
Caixa de laranja = z

UFG - GO - Um caminhão transportou, em duas viagens, 50 toneladas de soja. Sabendo que, na primeira viagem, o caminhão, carregado, pesou 45 toneladas e que, na segunda, o caminhão e a carga pesaram 35 toneladas, calcule a quantidade de soja transportada na primeira viagem e o peso do caminhão vazio.

Um caminhão transportou, em duas viagens, 50 toneladas de soja. Sabendo que, na primeira viagem, o caminhão, carregado, pesou 45 toneladas e que, na segunda, o caminhão e a carga pesaram 35 toneladas, calcule a quantidade de soja transportada na primeira viagem e o peso do caminhão vazio.

x = massa do caminhão vazio

y = massa da soja transportada na primeira viagem

z = massa da soja transportada na segunda viagem

Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

  Equação linear

  Equação linear é toda equação da forma:

a₁x₁ + a₂x₂+ a₃x₃ + ... + a_nx_n = b

em que a₁, a₂, a₃, ... , a_n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

x₁, x₂,x₃, ... , x_n, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Método da Comparação

Resolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas na determinação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em: resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método da comparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparação entre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir: 

Métodos de resolução de sistemas de equação

Sistema de Equações / Método de Substituição / Método de Adição (PROVA)

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

I – INTRODUÇÃO:

Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas ( matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com uma certa facilidade o que causa muitas vezes uma desatenção, por parte do aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão. Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas. 

Resolução de Problemas com Sistemas de Equações

Exemplo 1 

A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 

Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido). 

Cidade A = x 

Cidade B = y

Tipo de Relação exercida entre grandezas

Proporcionalidade entre Grandezas

Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais 

Relação de dependência entre grandezas

Relação de dependência entre grandezas 1

Relação de dependência entre grandezas 2

Relações de dependência entre Grandezas

Juros

JUROS SIMPLES

    O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Razão e Proporção - Porcentagem - Regra de três

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

Tópico relacionado

Exercícios resolvidos - Proporção

Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se determinado número inteiro A é múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades da suarepresentação decimal.

Um número inteiro A é divisível por um inteiro B (diferente de 0) se, e somente se, existir um k inteiro tal que:

Decomposição em fatores primos

Decomposição em fatores primos

        Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

        Decomposição do número 24 num produto:

ENEM - Números Primos

Números Primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.

2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.

3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Matemática Didática: Operações Aritméticas com Frações

Neste módulo iremos abordar a realização das quatro operações aritméticas fundamentais com números fracionários.

Iremos analisar cada uma das operações aritméticas separadamente para que possamos observar as características individuais de cada uma delas.

Caso você tenha dúvidas quanto às operações aritméticas fundamentais, trabalhando com números inteiros ou decimais, tal como a realização de divisões com muitos algarismos no divisor ou com casas decimais, você pode acessar as páginas a seguir, onde cada uma delas possui uma calculadora, que assim como as demais presentes neste site, informam em detalhes como realizar cada uma destas quatro operações aritméticas fundamentais:Adição, subtração, multiplicação e divisão.

Aula04-Complementar de Conjuntos.mp4

ENEM - Operação com conjuntos

Operação com conjuntos

Publicado por: Danielle de Miranda em Conjunto

Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos.

Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar.

Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. Veja a representação de cada uma delas:

O módulo do número complexo

O módulo do número complexo

Mundo Educação. Publicado por: Gabriel Alessandro de Oliveira em Conjunto dos números complexos

Temos duas formas de abordar o módulo de um número complexo, ambas apontando para a mesma definição, que é acerca doo comprimento, ou da distância do afixo do número complexo (Ponto C na imagem abaixo) até a origem do sistema de coordenadas. Vejamos a representação geométrica do que foi dito:

ENEM - Argumento de um número complexo

Os números complexos são uma extensão do conjunto dos números reais. Na verdade, número complexo é um par ordenado de números reais (a, b). Escrito na forma normal, o par ordenado (a, b) fica z = a + bi. Representando esse número complexo no plano de Argand-Gauss, teremos:

CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO

BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Christian Q. Pinedo 

Esta página muestra parte del texto pero sin formato.

Puede bajarse el libro completo en PDF comprimido ZIP (264 páginas, 1.49 Mb) pulsando aquí

ENEM: Teoria dos Conjuntos

Introdução aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

ENEM - Razões e Proporções

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A B