quinta-feira, 12 de setembro de 2013

Adição e subtração de arcos - Resolução de equações e inequações

Adição e subtração de arcos

Resolução de equações e inequações

Carlos Alberto Campagner*

Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Adição e subtração de arcos, arco duplo, transformação em produto

1.1. Adição e subtração de arcos

A partir das relações básicas da trigonometria:

E das relações geométricas do círculo trigonométrico, podem-se deduzir as relações trigonométricas para a soma e diferença de dois arcos:

Relações estas muito importantes para a resolução de equações e inequações trigonométricas.

1.2. Arco duplo

Usando-se as relações acima para quando os arcos forem iguais:

sin (α + α) = sin α cos α + sin α cos α

Ou:

sin (2 α) = 2 sin α cos α

Analogamente para o cosseno e tangente.

Em síntese:

1.3. Transformação de soma em produto de arcos

De posse das relações trigonométricas de soma e subtração de arcos pode-se deduzir as relações transformação de somas e subtrações em produto:

Além dessas relações vale enfatizar os valores das variáveis trigonométricas dos arcos notáveis:

2. Resolução de equações e inequações trigonométricas

2.1. Equações trigonométricas

Existem várias maneiras de se resolver uma equação trigonométrica que envolva a soma ou a subtração de arcos. Pode-se destacar algumas delas como exemplos:

a) Soma de arcos

→ deve-se usar a fórmula do seno da soma de dois arcos.

Como

Assim, nosso arcos de referência são:

Logo

b) Arco duplo

(sin α + cos α)² = 1 com 0 ≤ α ≤ 2π

Elevando o primeiro termo ao quadrado, teremos:

sin²α + 2sinαcosα + cos²α = 1

sabemos que: sin²α + cos²α = 1 (relação fundamental), então:

1 + 2sinαcosα = 1

2sinαcosα = 0

Aplicando a fórmula do seno do arco duplo, temos:

sin2α = 0, portanto

2α = 0, e α = 0

2α = π, e α = π/2

2α = 2π, e α = π

2α = 3π, e α = 3π/2,

que são os valores que atendem à condição 0 ≤ α ≤ 2π.

Logo

S = { 0, π/2, π, 3π/2 }

c) Transformação de soma em produto

cos3α + cosα = 0 com 0 ≤ α ≤ 2π.

Aplicando a fórmula para transformar a soma de dois cossenos em produto:

2cos2αcosα = 0

cos2αcosα = 0

Temos, portanto:

cos2α = 0, 2α = π/2 e α = π/4, ou 2α = 3π/2 e α = 3π/4

cosα = 0, então α = π/2 ou α = 3π/2

sendo assim, as quatro soluções para a nossa equação são:

S = { π/4, π/2, 3π/4, 3π/2 }

3. Inequações trigonométricas

As inequações trigonométricas seguem as mesmas técnicas de resoluções das equações, porém a resposta leva em consideração o círculo trigonométrico. Por exemplo:

sin α ≥ cos α/4