Neste módulo iremos abordar a realização das quatro operações aritméticas fundamentais com números fracionários.
Iremos analisar cada uma das operações aritméticas separadamente para que possamos observar as características individuais de cada uma delas.
Caso você tenha dúvidas quanto às operações aritméticas fundamentais, trabalhando com números inteiros ou decimais, tal como a realização de divisões com muitos algarismos no divisor ou com casas decimais, você pode acessar as páginas a seguir, onde cada uma delas possui uma calculadora, que assim como as demais presentes neste site, informam em detalhes como realizar cada uma destas quatro operações aritméticas fundamentais:Adição, subtração, multiplicação e divisão.
Adição
A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.
Vejamos o seguinte exemplo:
Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7. Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como terá o mesmo denominador 7:
Vejamos agora este outro exemplo:
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Será o MMC(3, 5, 13):
Como sabemos, o MMC(3, 5, 13) = 195. Logo todas as frações terão o denominador comum 195.
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O novo numerador de cada uma delas será apurado, simplesmente dividindo-se 195 pelo seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original:
- Para 1/3 temos que: 195 : 3 . 1 = 65, logo: 1/3 = 65/195
- Para 2/5 temos que: 195 : 5 . 2 = 78, logo: 2/5 = 78/195
- Para 3/13 temos que: 195 : 13 . 3 = 45, logo: 3/13 = 45/195
Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contendo o denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo:
No caso de adição de frações mistas devemos colocar a parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a soma das partes inteiras e das partes fracionárias:
Podemos também transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação de soma:
Subtração
A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as frações contenham um denominador comum. Quando as frações possuírem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se este denominador comum.
Vejamos o exemplo:
Observamos que todas as frações possuem o denominador 9. Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como irá manter o denominador 9:
Observemos este outro exemplo:
Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos a apurar o MMC(9, 3, 7)para utilizá-lo como denominador comum.
Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum.
Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador:
- Para 8/9 temos que: 63 : 9 . 8 = 56, logo: 8/9 = 56/63
- Para 1/3 temos que: 63 : 3 . 1 = 21, logo: 1/3 = 21/63
- Para 2/7 temos que: 63 : 7 . 2 = 18, logo: 2/7 = 18/63
Finalmente podemos realizar a subtração:
Assim como na adição, no caso da subtração de frações mistas também devemos colocar a parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a subtração das partes inteiras e das partes fracionárias:
Alternativamente podemos transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação de subtração:
Multiplicação
Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais simples das operações aritméticas que as envolvem. Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores.
Vejamos o exemplo abaixo:
Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou não, iremos realizar a multiplicação conforme mostrado abaixo:
A multiplicação de frações mistas deve ser precedida da conversão das mesmas em frações impróprias:
Divisão
A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações.
Vejamos como realizar a divisão abaixo:
Realizando-se a inversão das divisoras e mudando-se de divisão para multiplicação teremos:
Realizando-se a multiplicação teremos:
A divisão de frações mistas segue o mesmo principio, no entanto devemos primeiramente convertê-las em frações impróprias:
Múltiplas Operações
Assim como nas operações aritméticas com números naturais, nas operações aritméticas com frações, a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração, por isto em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar as operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração.
Vejamos a expressão a seguir:
A sequência para a sua resolução é a seguinte:
Primeiramente executamos a multiplicação:
Em seguida executamos a divisão, invertendo a fração e transformando a divisão em uma multiplicação:
Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o denominador comum das frações e realizarmos a soma e a subtração:
Finalmente obtemos o resultado da expressão:
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