Terno pitagórico

Professor Janildo Arante

Terno pitagórico

Em matemática, nomeadamente em teoria dos números,
um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por três números naturais a, b e c tais que a²+b²=c². O nome vem do teorema de Pitágoras que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (a,b,c) é um terno pitagórico, então (ka,kb,kc) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k. Umterno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...

Em suma, chamam-se ternos pitagóricos aos conjuntos de três números inteiros que podem representar os comprimentos dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo.

São pitagóricos os ternos: 

3,4 e 5

5,12 e 13

7, 24 e 25

9, 40 e 41 etc.

Mas como gerar números pitagóricos?

Alguns matemáticos da grécia antiga criaram processos para gerar números pitagóricos. Um destes processos, criado por Diofanto, afirma que , dados dois qualquer números naturais, m e n, os naturais:

diferença dos quadrados de m e n

dobro do produto de m por n e

soma dos quadrados de m e n formam um terno pitagórico.

É

fácil de provar!

Também se pode provar que o raio da circunferência inscrita num triângulo em que os comprimentos dos lados são um terno pitagórico gerado pelo método de Diofanto é igual a n(m-n)

Nesta figura estão representados todos os ternos pitagóricos. As coordenadas retangulares são as medidas dos catetos de cada triângulo e a medida da hipotenusa é o módulo do complexo a+bi (para módulos menores que 4500!)

Fórmula de Euclides

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou uma fórmula que gera todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m e n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

3,4 e 5

O primeiro terno pitagórico é formado pelos números 3, 4 e 5, já que 3²+4²=5². Mas os números 3, 4 e 5 desempenham um papel importante em todos os ternos pitagóricos. Pode provar-se, pela definição ou pela fórmula de Euclides, que num terno pitagórico primitivo:

· exatamente um dos números a ou b é múltiplo de 3;

· exatamente um dos números a ou b é múltiplo de 4;

· exatamente um dos números a, b ou c é múltiplo de 5.

Obtenção de trios (ternos) pitagóricos por fórmulas de álgebra geométrica

Dado um triângulo retângulo seja a o cateto menor, seja b o outro cateto, seja c a hipotenusa.

Dado t=2(c-b) e m=(a+b-c)/2(c-b) ou m = b/(a+c-b), a álgebra geométrica permite a obtenção das equações.

a = t(2.m + 1),b = t(2.m^2 + 2.m), c = t(2.m^2 + 2.m +1).

Quando fixamos um valor para t e variamos o valor de m obtemos toda a série existente de triângulos retângulos, todos diferentes entre si, pois o parâmetro m define sempre a forma do triângulo, ou seja fixa os seus ângulos agudos.Isto fica evidente, porque a tangente dos ângulos agudos não possui o parâmetro t nas suas expressões.

Quando fixamos um valor para m e variamos o valor de t obtemos toda a série de triângulos daquela forma definida pelo parâmetro m. Porém todos com diferentes áreas entre si, pois o parâmetro t é um parâmetro de escala, ou seja define a variação do tamanho ou área.

Ternos pitagóricos primitivos

Para obtermos ternos pitagóricos primitivos devemos ter:

Valores inteiros para t,e valores fracionários para m tal que m=p/q com p,q inteiros,primos entre si e p>q(sqrt)2/2.

Tomando como base o cateto menor temos uma série impar onde este cateto é sempre impar, e uma série par onde o cateto menor é sempre par.

Na série impar façamos t=q^2 e m = p/q sendo p>q(sqrt)2/2 e primos entre si, exceto q=1.

Logo :a = 2pq + q^2 , b = 2p^2 + 2pq , c = 2p^2 + 2pq +q^2 .

Neste caso temos q=1, p=1,2,3,4,5..., q=3, p=4,5,7,8,10..., q=5, p=4,6,7,8,9....

Com q=1 temos a=3,5,7,9,11..., b=4,12,24,40,60..., c=5,13,25,41,61... Com q=3 temosa=33,39,51,57,69..., b=66,80,140,176,260..., c=75,89,149,185,269....

Na série par façamos t= (q^2/2)e m=p/q sendo p>t;q(sqrt)2/2 e primos entre si.

Logo: a = pq + q^2/2 , b = p^2 + pq , c = p^2 + pq + q^2/2

Neste caso temos q=2 , p=3,5,7,9,11..., q=4, p=3,5,7,9,11..., q=6, p=5,7,11,13,15...

Com q=2 temos a=8,12,16,20,24... , b=15,35,63,99,143... , c=17,37,65,101,145... Com q=4 temos a=20,28,36,44,52... , b=21,45,77,117,165... , c=29,53,85,125,173...

Obtenção dos outros ternos pitagóricos

Para obtenção dos outros ternos, basta tomarmos cada um dos ternos Pitagóricos primitivos e multiplicar seus valores por 2,3,4,5,6....

sqrt = square root = Raiz Quadrada

http://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico