Questões de Determinantes e sistemas lineares

Professor Janildo Arante
Questões de Determinantes e sistemas lineares



Anexos: Resolução de alguns exercícios da prova:


15. (Fei 94) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis:


15. (Fei 94) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis:




podemos afirmar que x/y vale:


X = ad – bc
Y = -6ad + 6bc


x/y = (ad – bc)/( -6ad + 6bc)
x/y = (ad – bc)/6(-ad + bc)
x/y = (ad – bc)/(-1)6(ad - bc)
x/y = -1/6






a) -12
b) 12
c) 36
d) -36
e) -1/6 ~~~Resposta











11. (Unitau 95) O valor do determinante





como produto de 3 fatores é:


abc + a²b + a²b – a²b -b²a –a²c =
abc + a²b + a²b – a²b -b²a –a²c =
Eliminando os opostos (em negrito)
abc + a²b -b²a –a²c =
Colocando o a em evidência:
a(bc + ab -b² –ac) =
Como:
(bc + ab -b² –ac) = a(b-c) + b (c - b)
(bc + ab -b² –ac) = a(b-c) - b (b-c)
(bc + ab -b² –ac) = (a+b)(b-c)


Dessa forma:
abc + a²b -b²a –a²c = a*(a+b)*(b-c)






a) abc.
b) a (b+c) c.
c) a (a-b) (b-c).~~~> Resposta
d) (a+c) (a-b) c.
e) (a+b) (b+c) (a+c).


(FUVEST-SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá, encontraram uma velha balança com defeito, que só indicavam corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

-Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
-Carlos e Andreia pesam juntos 123kg;
-Andreia e Bidu pesam juntos 66 kg.

Determine o peso de Carlos, Andreia e do cachorro Bidu.



RESOLUÇÃO

Vamos pensar da seguinte forma

x = Andréia, y = Bidu (cão) e z = Carlos

Então temos:

z + y = 87 (1)
z + x = 123 (2)
x + y = 66 (3)

(2) - (1) = (4)
(z + x) - (z + y) = 123 - 87
x - y = 36 (4)

(4) + (3) = (x - y) + (x + y) = 36 - 66
2x = 36 - 66
x = (36 - 66)/2
x = 51

x + y = 66
51 + y = 66
y = 66 -51
y = 15

z + y = 87
z + 15 = 87
z = 87 -15
z = 72

Andréia pesa 51 Kg, Carlos pesa 72 Kg e Bidu pesa 15 Kg
2)Por ocasião do natal, uma empresa gratificará seus funcionários com um certo numero de cédulas de 50 reais. Se cada funcionário receber 8 cédulas sobrarão 45 delas, se cada um receber 11 cédulas, faltarão 27. O montante a ser distribuído qual será?


Suponhamos que existam x funcionários nessa empresa para receber este prêmio.
Se cada funcionário receber 8 cédulas, então 8x representa o total de cédulas distribuídas aos funcionários. Mas desta distribuição o problema diz que sobram 45 cédulas.
Então podemos concluir que o número total de cédulas é:


8x + 45 (I)

Se cada funcionário, por sua vez, receber 11 cédulas, então 11x representa o total de cédulas distribuídas aos funcionários.
Mas desta distribuição o problema diz que faltam 27 cédulas.
Então podemos concluir que o número total de cédulas é:


11x – 27 (II)

Igualando as expressões (I) e (II) temos:


8x + 45 = 11x – 27


45 + 27 = 11x – 8x


72 = 3x


x = 72/3

Resolvendo a equação temos que x = 24. Para descobrir o número de cédulas basta substituir o valor de x na equação (I) ou (II).

8x + 45 = 8.24 + 45 = 192 + 45 = 237 cédulas.

Montante = 237 x R$ 50,00 = R$ 11.850


QSL?


3) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?

a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos


Minha idade: x.
Idade de Júnior: y.
Idade de Maria: z.

Montagem do sistema:

"Minha idade somada à idade de Júnior é igual a 47 anos...": x + y = 47.
"...(minha idade) somada à idade de Maria é igual a 78 anos.": x + z = 78.
"...As idades de Maria e Júnior somam 39 anos.": z + y = 39.

x + y = 47 (I)
x + z = 78 (II)
z + y = 39 (III)

Há várias maneiras de resolver o sistema acima. Creio que a mais rápida é somar e subtrair as equações até que reste uma só variável. Comecemos por subtrair (I) de (II) e repetir (III):

x + y = 47 (I)
x + z = 78 (II)
z + y = 39 (III)

(x - x) + (z - y) = (78 - 47)
z + y = 39

z - y = 31 (IV)
z + y = 39 (III)

Agora, soma-se (IV) com (III):

(z + z) + (- y + y) = (31 + 39)

2z = 70
z = 35 (V) (Idade de Maria)

Substituindo (V) em (III), temos:

z + y = 39

35 + y = 39

y = 4 (VI) (Idade de Júnior)

Substituindo (VI) em (I), temos:

x + y = 47

x + 4 = 47

x = 43 (VII) (Minha idade)

Resposta: A idade de Júnior é 4 anos.