Exercícios resolvidos de permutações com repetições

Professor Janildo Arantes: Exercícios resolvidos de permutações com repetiçõe...: 

Exercícios resolvidos de permutações com repetições *

Exercícios:

1) A palavra MADEIRA possui sete letras, sendo duas letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R. Quantos anagramas podemos formar com essa palavra?

Solução:

O número de permutações de uma palavra com sete letras distintas (MADEIRA)

é igual a 7! = 5040. Neste exemplo formaremos uma quantidade menor de

anagramas, pois são iguais aqueles em que uma letra A aparece na 2ª casa e a outra

letra A na 5ª casa (e vice-versa).

Para saber de quantas maneiras podemos arrumar as duas letras A, precisamos

de 2 posições. Para a primeira letra A teremos 7 posições disponíveis e para

a segunda letra A teremos 6 posições disponíveis (pois uma das 7 já foi ocupada).

A divisão por 2 é necessária para não contarmos duas vezes posições que formam o mesmo anagrama (como, por exemplo, escolher a 2ª e 5ª posições e a 5ª e 2ª posições).

Agora vamos imaginar que as letras A já foram arrumadas e ocupam a 1ª e 2ª posições:

A A _ _ _ _ _

Nas 5 posições restantes devemos permutar as outras 5 letras distintas, ou seja, temos 5! = 120 possibilidades. Como as 2 letras A podem variar de 21 maneiras suas posições, temos como resposta:

2) Quantos anagramas podemos formar com a palavra PRÓPRIO?

Solução:

Observe que aqui temos 7 letras a serem permutadas, sendo que as letras P, R e O aparecem 2 vezes cada uma e a letra I, apenas uma vez.

Como no caso anterior, teremos 2! repetições para cada arrumação possível

da letra P (o mesmo ocorrendo com as letras R e O). O número de permutações

sem repetição será, então:

Em breve mais exercícios.Ir para Análise combinatória Referências:Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro - TC2000 - Matemática - vol 3, 2º grau aula 52. TIZZIOTTI,

QUANTOS ANAGRAMAS PODEMOS FORMAR A PARTIR DAS LETRAS DA PALAVRA CURIÓ?

Como já vimos, a permutação simples de n elementos distintos é dada por Pn, então como na palavra CURIÓtemos 5 letras distintas, o número de anagramas seria igual a P5, ou seja, será igual a 5! que é igual a 120.

QUANTOS ANAGRAMAS PODEMOS FORMAR A PARTIR DAS LETRAS DA PALAVRA ARARA?

Note que embora esta palavra também tenha cinco letras, agora temos apenas duas letras distintas. A letra A que ocorre 3 vezes e a letra R que ocorre 2 vezes. Como devemos proceder nesta situação?

Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a permutação de cinco letras distintas resulta em 120 possibilidades.

Como na palavra ARARA a letra A ocorre três vezes, a permutação destas três letras A é P3 = 3! = 6, ou seja, se dividirmos 120 por 6 iremos obter 20 que é o número de permutações, já desconsiderando-se as permutações entre as três letras A.

O mesmo iremos fazer em relação à letra R, só que neste caso o número de permutações desta letra éP2 = 2! = 2, isto é, dividindo-se 20 por 2 temos como resultado 10, que é o número total de permutações das letras da palavra ARARA, sem considerarmos as permutações das letras A entre si, e das letras R também entre elas mesmas.

PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS

A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos.

FÓRMULA DA PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS

Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:

A resolução do exemplo com o uso da fórmula é:

EXEMPLOS

Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?

Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P5(2, 2):

Portanto:

O número de anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra PARAR é igual 30.

Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas?

Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores diferentes. Segundo a repetição das cores, devemos calcular P10(4, 3, 2):

Então:

Eu poderei formar esta coluna de bolas de 12600 maneiras diferentes.

Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669, quantos desses são ímpares?

Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9.

No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P5(2, 2), pois um dos dígitos três será utilizado na última posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2 ocorrências do próprio algarismo 3 e 2 ocorrências do 6:

Agora no caso dos números terminados em 9 devemos calcular P5(3, 2), pois o dígito 9 será utilizado na última posição e dos 5 dígitos que sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:

Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, então no total temos 40 números ímpares.

Logo:

Dos números formados, 40 deles são ímpares.

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