Introdução às equações algébricas*

Professor Janildo Arante

Introdução às equações algébricas*

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

1. a x + b = 0
2. a x² + bx + c = 0
3. a x⁴ + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

a_o xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n-1 x¹ + a_n = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

 

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]² = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

D = b² - 4ac

 

Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

 

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1. 2 x² + 7x + 5 = 0
2. 3 x² + x + 2 = 0

 

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 0
2. 3 x² + 9 = 0
3. 2 x² = 0

 

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a

 

Exemplos gerais

1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.
2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]
3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.
4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

1. x² + 6x = 0
2. 2 x² = 0
3. 3 x² + 7 = 0
4. 2 x² + 5 = 0
5. 10 x² = 0
6. 9 x² - 18 = 0

 

Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1. Se D<0>
2. Se D=0, há duas soluções iguais:
   x' = x" = -b / 2a
3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
   x' = (-b + R[D])/2a 
   x" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.

Equação	a	b	c	Delta	Tipos de raízes
x²-6x+8=0	1	-6	8	4	reais e diferentes
x²-10x+25=0
x²+2x+7=0
x²+2x+1=0
x²+2x=0

 

O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.
3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1
4. Escrever a fórmula de Bhaskara:
   
5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
   x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3 
   x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

 

Exercícios

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
   1. x² + 9 x + 8 = 0
   2. 9 x² - 24 x + 16 = 0
   3. x² - 2 x + 4 = 0
   4. 3 x² - 15 x + 12 = 0
   5. 10 x² + 72 x - 64 = 0
2. Resolver as equações:
   1. x² + 6 x + 9 = 0
   2. 3 x² - x + 3 = 0
   3. 2 x² - 2 x - 12 = 0
   4. 3 x² - 10 x + 3 = 0

 

Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
2. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1. Consideremos o primeiro exemplo:
   3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
   x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:
   MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)
   Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:
   [3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0
   o que significa que o numerador deverá ser:
   3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0
   que desenvolvido nos dá:
   x² + 3x - 13 = 0
   que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.
2. Consideremos agora o segundo exemplo:
   (x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)
   O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:

   
   
   (x+3)(x+4)=2x(2x-1)
   
   
   
   
   x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
   
   
   
   -3x² + 9x + 12 = 0
   
   
   
   3x² - 9x - 12 = 0
   
   
   
   x² - 3x - 4 = 0
   
   
   
   (x-4)(x+1) = 0
   
   
   

   Solução: x'=4 ou x"= -1
3. Estudemos outro exemplo:
   3/(x²-4)+1/(x-2)=0
   O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:
   3 + (x+2)=0
   cuja solução é x= -5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

1. x + 6/x = -7
2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)
3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x
4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1

 

Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x⁴ + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x²

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:

1. Para resolver x⁴-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:
   x² = 4 ou x² = 9
   o que garante que o conjunto solução é:
   S = { 2, -2, 3, -3}
2. Para resolver x⁴-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:
   x² = -4 ou x² = 9
   o que garante que o conjunto solução é:
   S = {3, -3}
3. Se tomarmos y=x² na equação x⁴+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:
   x² = -4 ou x² = -9
   o que garante que o conjunto solução é vazio.