Séries números figurativos
De "As Formas e os Números"
Uma Aplicação dos Números Triangulares
Os Números Triangulares
Comecemos por recolher uma colecção de bolas do mesmo tamanho. Convém que não sejam muito grandes e, se forem bonitas, tanto melhor.
| Uma boa escolha é o conjunto das 15 bolas coloridas de "snooker" (sinuca), até porque já trazem um caixilho triangular de madeira. Não é por acaso que as bolas coloridas encaixam perfeitamente num triângulo equilátero com 5 bolas em cada lado. Acontece que quinze é o Número Triangular de ordem cinco, ou T(5)=15. |  |
Procuremos os primeiros Números Triangulares
 T(1) = 1 |  T(2) = 3 |  T(3) = 6 |
Se as bolas começarem a rolar, podemos arranjar duas ripas formando um ângulo de 60º, na forma de um funil. Agora basta ir colocando camadas de bolas no funil:
 | T(1) = 1 T(2) = T(1) + 2 = 3 T(3) = T(2) + 3 = 6 T(4) = T(3) + 4 = 10... Fórmula Recursiva: T(1) = 1 T(n+1) = T(n) + (n+1) |
As fórmulas recursivas têm a sua importância, mas talvez seja melhor procurar uma relação iterativa. Coloquemos agora as ripas num ângulo de 45º:
 | T(1) = 1 T(2) = 1 + 2 = 3 T(3) = 1 + 2 + 3 = 6 T(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10... Fórmula Iterativa: T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n |
| Diz a lenda que Gauss, quando miúdo de escola, era bastante irrequieto. Um dia o professor decidiu pô-lo a calcular: 1 + 2 + 3 + ... + 100, na esperança de o manter sossegado por algum tempo. Não resultou, pois o miúdo rapidamente calculou: 50 * 101 = 5050. |  Carl Friedrich Gauss (1777-1855) |
Não negando o devido valor a tal prodígio infantil, convém recordar que este é um dos mais antigos resultados conhecidos da Matemática. Os antigos gregos já o conheciam tendo-o demonstrado, como era seu gosto, por via geométrica.
Teorema T1 (Pitágoras, sec. VI A.C.): 2 * T(n) = n * (n+1)
| Um Exemplo: |  2 * T(4) =2 * (1+2+3+4) = 4 * 5 | Uma Demonstração: |
n + 1 = n+1
(n-1) + 2 = n+1
(n-2) + 3 = n+1
...
2 + (n-1) = n+1
1 + n = n+1
_____________
n * (n+1)
|
Assim obtemos uma Fórmula Fechada para o cálculo do Número Triangular de ordem n:
T(n) = n (n+1) / 2
T(n) = n (n+1) / 2
e provamos também aquela que ficou conhecida como "Fórmula do menino Gauss":
1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2.
1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2.
Teorema T2 (Nicómacus, sec. I): T(n) + T(n+1) = (n+1)2
| Um Exemplo: |  T(4) + T(5) =(1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) = 5 * 5 | Uma Demonstração: |
n + 1 = n+1
(n-1) + 2 = n+1
(n-2) + 3 = n+1
...
2 + (n-1) = n+1
1 + n = n+1
0 + (n+1) = n+1
_____________
(n+1) * (n+1) = (n+1)2
|
Exercícios:
3 T(n) + T(n-1) = T(2n)
3 T(n) + T(n+1) = T(2n+1)
9 T(n-1) + 3n = T(3n-1)
Uma Aplicação dos Números Triangulares
| Imaginemos uma situação em que n pessoas se encontram. Para que todos se cumprimentem mutuamente, quantos apertos de mão deverão ser efectuados? | ||
O 1º cumprimenta (n-1)
2º (n-2)
... ...
(n-1)º 1
nº 0
_______________________
Total de apertos de mão = T(n-1)
| Se essas n pessoas decidirem organizar um campeonato de snooker, precisarão naturalmente de travar T(n-1) partidas. | |
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