INEQUAÇÕES
Definições
Inequação: toda a desigualdade literal que é apenas satisfeita por certos valores, as letras ou incógnitas que nela figuram, por outras palavras, apresentam os sinais de maior (>) ou menor (<) ao invés do sinal de igualdade que é o que caracteriza as equações.
Soluções ou Raízes de uma Inequação: os valores das incógnitas (ou letras) que satisfazem a inequação, que a transformam numa desigualdade numérica.
Exemplo:
Tome atenção aos aspectos apresentados, não se apresse!!!.
Inequação do 1° grau
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
-2x + 7 > 0
x - 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0
x - 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0
Resolvendo uma inequação de 1° grau
Uma maneira simples de resolver uma inequação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros. Observe dois exemplos:
Exemplo 1: -2x + 7 > 0
Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)
2x < 7
x < 7/2
x < 7/2
Portanto a solução da inequação é x < 7/2.
Exemplo 2: 2x - 6 < 0
Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3
2x < 6
x < 6/2
x < 3
Portanto a solução da inequação e x < 3
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x - 6 = 0
x = 3
2x – 6 < 0
2x - 6 = 0
x = 3
INEQUAÇÃO PRODUTO
Algumas inequações apresentam, no 1º membro, produto de funções que para obter a resolução dessas inequações é preciso fazer o estudo do sinal de todas as funções, a solução seria a intersecção do estudo dos sinais das funções que pertencem à inequação.
Para compreender melhor como funciona o encontro do conjunto solução de uma inequação produto acompanhe o raciocínio dos exemplos seguintes.
Exemplo 1:
Ache o conjunto solução da equação produto abaixo:
(-3x + 6) (5x -7) < 0
Primeiro o estudo do sinal de cada função:
-3x + 6 = 0
-3x = -6
-x = - 6 : (3)
-x = - 2
x = 2
5x – 7 = 0
5x = 7
x = 7 5
Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:
Como a inequação quer valores que sejam menores que 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação será:
S = {x 
R / x < 7 ou x > 2}
R / x < 7 ou x > 2}
5
Exemplo 2:
Ache o conjunto solução da equação produto abaixo:
(2x – 10) (x2 – 5x + 6) > 0
Primeiro o estudo do sinal de cada função:
2x – 10 = 0
2x = 10
x = 10 : 2
x = 5
x2 – 5x + 6 = 0
∆ = 25 – 4 . 1 . 6
∆ = 25 – 24
∆ = 1
x = 5 ± 1
2
x’ = 3
x” = 2
Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:
Como a inequação quer valores que sejam maiores que 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação (2x – 10) (x² – 5x + 6) > 0, será:
S = {x R / 2 < x < 3 ou x > 5}
R / 2 < x < 3 ou x > 5}
Exemplo 3:
x . (x – 1) (-x + 2) ≤ 0
x = 0
x – 1 = 0
x = 1
-x + 2 = 0
-x = -2
x = 2
Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função:
Como a inequação quer valores que sejam menores ou iguais a 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação
x . (x – 1) (-x + 2) ≤ 0, será:
{x R / 0 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 2}.
R / 0 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 2}.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Ligeiramente modificado por Janildo Arantes (Graduado em Matemática Licenciatura Plena)
1. Encontre o valor de x que satisfaça a inequação de forma que o seu valor seja maior que 0.
1. Assim começa a equação
1.1. O primeiro passo é isolar o valor de x, por isso, passa-se o valor 6 para o 2º Termo invertendo o sinal e deixando unicamente no 1º Termo os valores que contêm a variavel x.
1.2. Isolando completamente a variável de cálculo.
1.3. Nesse ponto, só precisa fazer a conta 6:2 =3, não esquecendo o sinal negativo( - 6 : 2 = - 3).
Substituindo o valor de encontrado de x na equação principal, o resultado deve ser maior que 0, ou seja, temos de substituir por valores maiores que -3, porquê? Experimente substituir pelo proprio valor -3.
1. Lembre-se os valores a substituir têm de ser maiores que -3, assim sucessivamente. Exemplo: Experimente -2, -1 e 0.
2. Resolva a seguinte inequação fraccionária:
2.1. Antes de começarmos a resolver a inequação devemos ter em conta que a operação com numeros fraccionários não é complexa, apenas exige mais passos e consequentemente aumenta a probabilidade de cometer erros na resolução dos exercícios. Assim, simplificamos a inequação multiplicando ambos os termos por 3, visto que ambas as fracções são divisiveis por este valor.
2.2. Multiplicando toda a inequação por 3, eliminam-se as fracções. Este procedimento não altera em nada a inequação apenas a torna mais simples. Vejamos o que acontece o que acontece: 3 a multiplicar pela inequação toda apenas afecta os numeradores. Passemos ao exemplo abaixo.
2.3. Como 3:3 = 1, confome mostram os valores que são cortados no exemplo acima, a inequação simplicada apresentará o seguinte aspecto ou resultado. Eliminaram-se dessa forma as fracções.
2.4. Quando a variavel de cálculo é afectada pelo sinal negativo devemos sempre torná-lo num sinal positivo multiplicando ambos os termos da inequação por (-1). No caso das inequações essa operação afecta também o sinal da desigualdade (> ou <); invertendo-o. Veja o exemplo abaixo.
2.4.1 Porquê o sinal de desigualdade deve sempre mudar de maior (>) para menor (<) e viceversa.
È simples: Admita por exemplo, a seguinte desigualdade ou inequação na qual substituiráx pelos valores -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
2.4.2. Agora experimente fazer com que -x passe de negativo a positivo, x, sem inverter a desiguldade. Multiplicar toda a inequação por (-1) deixando de lado o sinal (<).Veja o exemplo.
2.4.3 Veja agora a operação respeitando a inversão do sinal de desiguldade. Multiplicando tudo por (-1) e passando também o sinal (>) para (<). Atenção: Igual a solução apresentada por 2.4.1. Esta é a operação correcta.
Exercícios propostos
a) Resolva a seguinte inequação modular:
Começaremos por analisar o conceito ou a definição de módulo, que diz que:
|x| = x se x >= 0
|-x| = x se x < 0 ou vice-versa -x = |x| se x < 0
O que se quer aqui dizer, é que independentemente da resultante do módulo ser sempre positiva o valor que está dentro do módulo (ou a sua origem) pode ser positivo ou negativo.
Assim:
 |
| Propriedade do Módulo - quando a desigualdade for menor que a: o conjunto solução é restrito entre -a e a.
quando a desigualdade for maior que a: o conjunto solução apresenta valores ou
maiores que a ou menores que -a. |
Resolução a)
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Exercícios aqui.
Obs.: Gráficos plotados na página http://www.wolframalpha.com/
Ligeiramente modificado por Janildo Arantes (Graduado em Matemática Licenciatura Plena)
Obs.: Gráficos plotados na página http://www.wolframalpha.com/
Ligeiramente modificado por Janildo Arantes (Graduado em Matemática Licenciatura Plena)
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