43 - Limites
Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
|
|
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x
1), y tende para 3 (y 3), ou seja:
1), y tende para 3 (y 3), ou seja: |
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
1). Nem é preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
 |
se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).
a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.
1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:
Se g: IR IR e g(x) = x + 2, 
g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)
f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
Limites
Propriedades dos Limites
1ª) 
O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Exemplo:
2ª) 
O limite do produto é o produto dos limites.
Exemplo:
3ª) 
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
Exemplo:
4ª) 
Exemplo:
5ª) 
Exemplo:
6ª) 
Exemplo:
7ª) 
Exemplo:
8ª) 
Exemplo:
Limites
Limites Laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:
 |
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
 |
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:
a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:- Se
- Se
Continuidade
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
Propriedade das Funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
- f(x)
g(x) é contínua em a;
- f(x) . g(x) é contínua em a;
é contínua em a
.
Limites
Limites envolvendo infinito
Conforme sabemos, a expressão x 
(x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x 
(x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica quex assume valores menores que qualquer número real.
(x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica quex assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo:
a) 
, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
b) 
, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
c) 
, ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero 
ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
, ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
d) 
, ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, ytende para menos infinito
, ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, ytende para menos infinito
Limite de uma função polinomial para 
Seja a função polinomial 
. Então:
. Então: |
Demonstração:
Mas:
Logo:
De forma análoga, para 
, temos:
, temos: |
Exemplos:
Limites
Limites trigonométricos
|  |
Demonstração:
Para 
, temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
, temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
Invertendo, temos:
Mas:
- g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se
, então,
. Logo,
Limites
Limites exponenciais
 |
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracionale cujo valor aproximado é 2,7182818.
Veja a tabela com valores de x e de 
.
.
x
| 1 | 2 | 3 | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 |
 | 2 | 2,25 | 2,3703 | 2,5937 | 2,7048 | 2,7169 | 2,7181 | 2,7182 |
Notamos que à medida que 
.
.
De forma análoga, efetuando a substituição 
, temos:
, temos: |
Ainda de forma mais geral, temos :
|
|
As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.
 |
Se 
,então 
.
,então .
Mas:
Logo:
Como x 0 , então u 0. Portanto:
0 , então u 0. Portanto:
Generalizando a propriedade acima, temos 
.
. |
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites.php
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