Trigonometria básica - Exercícios
1) Num triângulo retângulo sabe-se que o cosseno de um ângulo α vale 5/13. Determine os possíveis lados do triângulo:
Sabe-se
que:
Vamos
dizer que triângulo tem lados a,b e c,com c como a hipotenusa.
a²=b²+c² == > Equação 1
cos α=5/13
A gente
pode dividir a Equação 1 por a²
Ficando
da seguinte forma:
a²/a²=b²/a²+c²/a²
1 = b²/a²+c²/a²
Como
seno α = c/a e elevado ao quadrado c²/a²
E
O cosseno
b/a e elevado ao quadrado b²/a² que
equivale a 5²/13²
Temos
então:
sen α²+cos
α²=1
sen α²+(5/13)²=1
sen α²+25/169=1
Isolando
sen α²
sen α²+25/169
-25/169=1- 25/169
sen α²=1-25/169
sen α²=169/169
- 25/169
sen α²=(169-25)/169
sen α²=144/169
Extraindo-se a raiz
quadrada em ambos os lados:
√(sen α²)=√(144/169)
sen α=12/13
sen α=a/c e cos α=b/c
12/13=c/a 5/13=b/a
c/a = 12/13
sen α=a/c e cos α=b/c
12/13=c/a 5/13=b/a
c/a = 12/13
a/c =13/12
a = (13/12)c
e
5/13=b/a
13/5
= a/b
a/b
=13/5
a = (13/5)b
(12/13)c (5/13).b onde b e c são quaisquer números reais
4) Um
avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2000 metros em
linha reta, qual será a altura atingida pelo avião aproximadamente (utilize seno
20º = 0,342; cosseno 20º = 0,94 e Tangente de 20º= 0,364 )
 |
2000m cateto oposto
sen β
= cat oposto/ hipotenusa
sen 20º = cat oposto/ 2000 m
sen 20º = cat oposto/ 2000 m
sen
20º * 2000 m = 2000 m * cat oposto/ 2000 m
0,342 * 2000 = cat oposto
0,342 * 2000 = cat oposto
0,342
*1000* 2 = cat oposto
342
* 2 = cat oposto
cat
oposto = altura (h) = 684 m
5) Um
avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea formando com o solo, um
ângulo de 30º (suponha que a região
sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, qual a
altura atingida pelo avião?
γ =30º
sen γ = cat oposto/
hipotenusa
sen 30º = cat oposto/ 1000 m
sen 30º = cat oposto/ 1000 m
sen 30º * 1000 m = 1000
m * cat oposto/ 1000
m
0,5 * 1000 = cat oposto
0,5 * 1000 = cat oposto
500 =
cat oposto = altura
cat
oposto = altura (h) = 500 m
6)
de um ponto A, uma agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo
de 45º. Ao se aproximar 50m do morro, ele passa a ver o topo T conforme o
ângulo de 60º. Determine a altura do morro.
Sabemos que tangente = 45º = 1
Tangente 45º = x/(50 + y) = 1 == > equação 1
Tangente 60º = x/ y = sqrt (3) = 1,7 == > equação 2
Da equação 2 temos:
x= 1,7 y Equação 3
Agora é só substituir a equação 3 na equação 1.
1,7y /(50 + y) =
1y
1,7 y = 50 + y
1,7y – 1 y = 50
0,7 y = 50
y = 50/0,7
y =50 * 10/7
y =500/7
y = 71,43 (aproximadamente)
Mas
x = y + 50
x = 71,43 + 50
x = altura do topo do morro = 121,43
10) uma pessoa de 1,65 metros de altura observa o topo de
um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio,
devemos somar 1,65 m a:
a) b cos a b) a cos a c) a sen a d) b tg a e) b sen a
h = 1,65 + x
Como
seno a = x/b
x = seno a*b
e
h = seno a * b + 1,65
h = 1,65 + b seno a== > Resposta (b seno a )
Resolvam esses:
1) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x
a) 
02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo.
Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo?
(dados: sen 74º = 0,96¸ cos 74º = 0,28 e tg74º = 3,4)
a) 55 m b) 15 m c) 45 m d) 42 m e) 51 m
03) (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4Ö3 m e o vão entre elas é de 12 m , determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.
05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x
AD = x DC = x - 38 BD = y
06) Com base na figura abaixo é correto afirmar:
01. h = Ö2 m
02. h = Ö3 m
08. O triângulo ACD é isósceles
16. O lado AC mede 6 m
07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória.
Navegando mais 500 m , o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa?
(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)
09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
a) b cos a b) a cos a c) a sen a d) b tg a e) b sen a
10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km . Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.
02. AD = 2,5 km
04. BC = 5Ö3 km
08. O ângulo BÂD mede 60°
a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6
12) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos2α)x2 – (4cosαsen β)x + (3/2)sen β= 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.
Pode-se afirmar que as medidas de α e β são respectivamente:
a) p/8 e 3p/8 b) p/6 e p/3 c) p/4 e p/4 d) p/3 e p/6 e) 3p/8 e p/8
13) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo:
14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75o e o ângulo ACB mede 75o. Determine a largura do rio.
15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD da figura. Conhecendo-se o ângulo a, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é:
h = 12Ö3 cm y = 21 cm a = 30°
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