ABC + DEF = GHIJ

ABC + DEF = GHI . Substituir cada carta com um único dígito de 1 a 9 , de tal modo que é GHI tão pequena quanto possível . tão grande quanto possível . Repita o procedimento para ABC + DEF = GHIJ , usando os dígitos de 0 a 9 , sem zeros à esquerda. Para evitar a duplicação de respostas , maximizar DEF em cada solução . 

Estou mais interessado em provas analíticas do que em soluções geradas por computador . 

Fonte : Original. Com base em um quebra-cabeça de O Enigma 2001 Mensa Calendar . As soluções foram recebidos de Philippe Fondanaiche , Joseph DeVincentis , Jozef Hanenberg , Claudio Baiocchi , Dane Brooke, Denis Borris , Francesc Sunol , Graeme McRae , Al Zimmermann . Em geral , parece que demorou mais tempo a escrever -se a solução analítica do que para realmente encontrar as respostas . Computador de Al desde um rápido resumo dos resultados: sem zeros Min GHI : 173 + 286 = 459 Max GHI : 235 + 746 = 981 com zeros Min GHIJ : 437 + 589 = 1026 Max GHIJ : 743 + 859 = 1602 Algumas soluções representativas seguir.

1) 

De Jozef Hanenberg : Caso: ABC + DEF = GHI Porque os dígitos 1-9 somam 45, que é um múltiplo de 9 , você terá um múltiplo de 9 se você adicionar ABC, DEF e GHI . E porque GHI é a metade desse montante , a própria GHI deve ser um múltiplo de 9. Assim G + H + I é um múltiplo de 9 . Nós olhamos para o menor valor : G deve ser pelo menos 3. Nesse caso, A = 1 e D = 2 . As possibilidades GHI = 315324342351 falhar por causa de A ou D. As outras possibilidades com G = 3 são 1.4 1 .. 1 .. 1 .. 2,5 2 .. 2 .. 2 .. mas todos eles falham na etapa seguinte . 369 378 387 396 Então G deve ser de pelo menos 4. GHI = 423 ou 432 falhar, pois D deve ser de 2 ou 3. A próxima possibilidade dá a resposta: 173 + 286 = 459 . Olhando para o maior valor não é difícil como a primeira possibilidade GHI = 981 é alvo : você recebe 324 + 657 = 981 e também 235 + 746 = 981 . Caso: ABC + DEF = GHIJ Um argumento idêntico como dado acima leva à conclusão de que GHIJ é um múltiplo de 9 e, portanto, L + H + I + J é um múltiplo de 9 . O menor valor de GHIJ novamente vem rápido , como 437 + 589 = 1026 . Olhando para o maior valor de GHIJ , note que G = 1 e H = 7 (nesse caso, A = D = 8 e 9) ou H = 6 (neste caso, A = D = 7 e 8 ou 9) Recebemos 8 .. 8 .. 7 .. 7 .. 7 .. 7.4 7 .. 7 .. 7.4 743 9 .. 9 .. 8 .. 9 .. 9 .. 9 .. 8,5 .. 9,8 859 8 1764 1746 1692 1683 1638 1629 1620 1620 1602 1602 Eles falham na próxima etapa, exceto fot o último: ele dá a resposta 743 + 859 = 1602 . Escrever tudo isto levou muito mais tempo , em seguida, encontrar as respostas. Quem gostaria de ter um computador para gerar as respostas? De Graeme McRae: 

---------------------------- Primeiro Puzzle:  ------------------------------ABC + DEF = GHI , minimizar GHI , então maximizar DEF

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Em primeiro lugar, algumas observações gerais ... (1) Deve haver um número ímpar de carrega porque a soma dos dígitos 1 a 9 é de 45 , portanto, se a soma dos dígitos A + B + C + D + E + F é ainda em seguida, a soma de G + H + I é ímpar , e vice-versa . Isso só pode acontecer se houver um número ímpar de carrega. (2 ) Uma vez que não pode haver carry da coluna de centenas , então não deve ser um carry da coluna ou com um carry do dezenas de colunas mas não ambos. (3) A soma dos algarismos da soma , GHI , deve ser 18. Aqui está o porquê : Desde há um carry , então ou A + G e D = 1 + B + E = H e C + F - 10 = I ou 1 + A + D = G e B + E-10 e C = H + F = I Em ambos os casos , A + B + C + D + E + F - 9 = L + H + I Uma vez que A + B + C + D + E + F = 45- ( H + L + I ) , temos 45- ( H + L + I ) -9 = G + H + I G + H + I = 18 Agora , a solução para este problema ... Pode ser de 3 G ? Então, A = 1 , D = 2 , e não de transporte para a coluna de centenas . Portanto, deve haver um carry na coluna de dezenas . Mas o menor dígitos disponíveis para B e E são 4 e 5 , e 4 + 5 + 10 = transportar . Isso viola "não carry na coluna de centenas " . Então, G não pode ser 3 . L deve ser , pelo menos, 4. Isso significa H + I = 14 , de modo que o menor possível é H 5, e o menor possível GHI é 459 . Ou C e F são 1 e 3 ( transportar de queridos para dezenas ) ou C e F são 1 e 2 ( transportar de dezenas a centenas ) . Se C e F são 1 e 3 , em seguida, o transporte tem de ser a partir de uma das colunas na coluna das dezenas . O menor dezenas dígitos na soma , GHI , é 8, porque 2 + 5 + transportar = 8 dígitos são os menores disponíveis para B e E. Desde G + H + I = 18 , GHI é 486. (127 + 359 = 486) Talvez possamos fazer melhor , permitindo um transporte a partir da coluna dezenas . Se a coluna é centenas 1 + 2 + 4 = transportar , em seguida, estes são dígitos disponível para a coluna dezenas : 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , e 9 . As combinações destes dígitos com a efectuar das dezenas lugar, mas não levar para o lugar dezenas são 5 + 8 = 13 , 6 + 7 = 13 , 6 + 9 = 15 , 7 + 8 = 15 , 8 + 9 = 17 . Os dois primeiros fazem GHI menos de 459, o que é impossível . O próximo faz H igual a 5 , mas utiliza -se a 9 necessário para produzir 459 . A quarta dá H igual a 5 e deixa- 3 , 6 , 9 e para o aqueles coluna . A resposta final é de 173 + 286 = 459 

-------------------------------------------------- -------- Segundo Puzzle: ABC + DEF = GHI , maximizar GHI , então maximizar DEF

O máximo GHI é 981 porque se G e H são 9 e 8 então eu é 1, porque G + H + I = 18 . A nossa próxima prioridade é maximizar a DEF , então vamos tentar D = 7 . Nesse caso , A não pode ser 1 , então A = 2 e o transporte deve ser a partir de uma das colunas para a coluna dezenas . Até agora temos usado 1, 2, 7 , 8 e 9. Temos ainda de lugar os dois últimos algarismos de cada adendo de entre 3, 4 , 5 e 6 . Desde há um carry na coluna de dezenas , há apenas um maneira de obter um montante de 8 , e isso é 3 + 4 + carry = 8 . Isso deixa 5 + 6 = 11 para uma das colunas . 235 + 746 = 981 . -----

--------------------------------------------- ---------- Terceiro Puzzle: ABC + DEF = GHIJ , minimizar GHIJ , então maximizar DEF -------------------------------------------------- ---------- 

 Observações semelhantes às feitas para quebra-cabeças um e dois : (1) Deve haver um número ímpar de carrega porque a soma dos dígitos 1 a 9 é de 45 , portanto, se a soma dos dígitos de ABC, DEF é ainda em seguida, a soma de GHIJ é ímpar , e vice-versa . Isso só pode acontecer se houver um número ímpar de carrega. ( 2 ) Uma vez que deve existir um transporte a partir da coluna centenas , então há deve ser um carry de ambas as outras colunas ou não do outras colunas . (3) A soma dos algarismos da soma , GHIJ , deve ser 9 ou 18. Aqui está o porquê : Se há um carry , então A + B + C + D + E + F -9 = G + H + I + J , de modo G + H + I + J = 18 Se existem três transporta , então A + B + C + D + E + F - 27 = G + H + I + J , assim G + H + I + J = 9 Agora, para o quebra-cabeça :

O menor GHIJ possível é 1026 porque não é autorizada a zero e a soma de G + H + I + J deve ser de 9 ou 18 . Há três carrega neste problema , porque essa é a única maneira de fazer G + H + I + J = 9 . Os dígitos disponíveis para a coluna de centenas são 3, 4 , 5, 7 , 8 e 9 . A única combinação de A + D + carry = 10 é 4 + 5 + transportar = 10 . Isso deixa 3, 7 , 8 e 9 a partir do qual a escolher os dígitos dezenas . A única combinação de B + E + transportar = 12 é 3 + 8 + transportar = 12 . Isso deixa 7 e 9, e, felizmente , 7 + 9 = 16 Portanto, a resposta é 437 + 589 = 1026 . 

----------------------------------- Quarto Puzzle: ----------------------ABC + DEF = GHIJ , maximizar GHIJ , então maximizar DEF       -------------------------------------------------------------------------------- 

 G deve ser 1 , e ABC + DEF pode ser , no máximo, 975 + 864 = 1839 , de forma H pode ser no máximo 8 . Se GH é 18 , então ABC + DEF pode ser , no máximo, 964 + 753 = 1717 , então H pode ser , no máximo, 7 .

Se a GH é 17 então A e D tem de ser escolhido de entre 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , e 9 . A única combinação de A e D a partir deste grupo é de 8 + 9 , e assim não há pode haver carry (exceto a partir do local centenas ) . Por conseguinte, a soma de G + H + I + J 18 é , então a soma de I + J é 10. A única maneira de escolher I e J de entre 0 , 2 , 3 , 4 , 5 , e 6, de modo que i + j = 10 + 6 é 4 ( ou 6 + 4 ) , de modo que se é GH 17 é , em seguida, GHIJ 1746 ou 1764. 

Os números restantes são 0 , 2 , 3 , e 5 . Nenhum par destes números acrescenta-se a 4, e nenhum par acrescenta-se a 6, por isso não pode GH 17. ser H podem ser no máximo 6 . Se a GH é 16 então A e D tem de ser escolhido de entre 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , e 9 . A única combinação de A e D a partir deste grupo é 7 + 8 + 16 = transportar , assim deve haver três carrega. A soma de G + H + I + J é 9 , por isso I + J = 2, para que eles deve ser 0 e 2 ( 1 é tomada) . Então, se GH é 16, então é GHIJ 1620 e 1602. Os dígitos à esquerda para preencher as dezenas e as unidades locais são 3, 4 , 5 e 9. Nenhum combinação destes acrescenta-se a 10, mas 3 + 9 = 12, assim que estes são os dígitos queridos. Isso deixa 4 + 5 + transportar = 10 , então a resposta final é 743 + 859 = 1602 .

http://ken.duisenberg.com/potw/archive/arch01/011121sol.html